۱- اولین نکته ای  که هست اینه که زنبور باید از میان تمام شکلهای هندسی،شکلهایی رو انتخاب  کنه که "کاملا متقارن" هستند تا تفاوتی نکنه که زنبور از کجا وارد خانه  میشه،از بالا یا پایین یا چپ یا راست. شکلهای کاملا متقارن عبارتند از 3  ضلعی منتظم (مثلث متساوی الاضلاع) 4 ضلعی منتظم(لوزی) 5 ضلعی منتظم،6 ضلعی  منتظم،7 ضلعی منتظم و ... و بینهایت ضلعی منتظم ( دایره!!!). شکلی مثل مثلث  متساوی الساقین یا مستطیل کاملا متقارن نیستند. اگر بخوام تعریف دقیق تری  از کاملا متقارن بودن ارائه کنم باید تعداد اضلاع شکل رو در نظر گرفت. مربع که نوع خاصی از لوزیه 4 ضلع داره و از 4 راستا هم متقارنه ( راستای  طول، عرض، قطر اصلی و قطر فرعی ) خود لوزی هم از 4 راستا متقارنه (می تونین اون 4  راستا رو پیدا کنید؟!!! ) مثلث متساوی الاضلاع 3 ضلع داره و از 3 راستا هم  متقارنه اما مثلث متساوی الساقین تنها از یک راستا متقارنه. مستطیل هم تنها  در دو راستا متقارنه. 

۲-  دومین نکته در مورد انتخاب شکلها برای ساخت خانه زنبور اینه که شکلها  کاملا در کنار هم چفت بشن یعنی بعد از کنار هم چیده شدنشون فضای خالی  بینشون وجود نداشته باشه. شما اگر 10 تا دایره رو کنار هم قرار بدین به  وضوح فضای خالی زیادی بین دایره ها خواهید داشت اما می تونین 10 مربع رو  بدون ایجاد حتی ذره ای فضای زائد در کنار هم بچینید. از بین تمام شکلهای  کاملا متقارن تنها 3 ، 4 و 6 ضلعی منتظم این قابلیت رو دارن!!! (5  ضلعی  منتظم این خاصیت رو نداره مثلا اگر 5 تا 5 ضلعی منتظم رو دور تا دور یک 5  ضلعی منتظم بچینید شکلی شبیه یک گل 5 پر ایجاد میشه که لابلای گلبرگهاش  فاصله یا همون فضای زائد وجود داره!!! ) 

۳-  حال ببینیم چرا زنبور از بین 3 شکل مناسب 6 ضلعی منتظم رو انتخاب  میکنه.جواب خیلی ساده است. زنبور شکلی رو انتخاب می کنه که با مصرف موم  مشخص،بیشترین فضا رو در اختیارش قرار بده یعنی در واقع شکلی رو برمی گزینه  که بتونه باهاش با مقدار معین مصالح،بزرگترین خانه ی ممکن رو بسازه. به  زبان ریاضی زنبور شکلی رو انتخاب میکنه که به ازای محیط ثابت،بیشترین مساحت رو داشته باشه. 

۴-  اجازه بدید قبل از اینکه بین 3 شکل بحث کنیم تکلیفمون رو با 4 ضلعی منتظم  ( لوزی) مشخص کنیم. در بین تمام لوزی های ممکن با محیط ثابت، مربع بیشترین  مساحت رو تولید می کنه.در واقع لوزی 4 زاویه داره که دو به دو با هم مساوین  پس میشه به هر لوزی دو عدد رو نسبت داد. زاویه ماکزیمم و زاویه مینیمم. به  وضوح هر چه اختلاف این دو عدد بیشتر باشه لوزی شکل کشیده تری داره و دارای  مساحت کمتریه و بیشترین مساحت وقتی رخ میده که اختلاف بین زاویه ماکزیمم و  مینیمم حداقل ( یعنی صفر ) باشه یعنی وقتی که هر چهار زاویه ی لوزی 90 درجه  باشه یعنی یک مربع داشته باشیم. اگر بخوام ریاضی تر این بحث رو دنبال کنم  باید بگم که اگر زاویه ماکزیمم رو با a و زاویه مینیمم رو با b نشون بدین  داریم a+b=180 لذا می تونین به هر لوزی در واقع یک زاویه مثلا a رو نسبت  بدین.به راحتی می تونین اثبات کنید که مساحت لوزی برابر است با (2sin(a  و این مقدار وقتی حداکثره که مشتقش یعنی (2cos(a برابر باشه با صفر یعنی a=90  یعنی همونطور که گفتم هر چهار زاویه لوزی 90 درجه باشند.

 ۵-  پس در نهایت به این نتیجه رسیدیم که زنبور باید از بین مثلث متساوی  الاضلاع، مربع و 6 ضلعی منتظم یکی رو انتخاب کنه. فرض کنید هر سه ی این  شکلهای محیطی برابر با یک داشته باشه. می خوایم مساحت هر کدوم را حساب کنیم و نشون بدیم که مساحت 6 ضلعی منتظم از همشون بیشتره. طول هر ضلع مثلث متساوی  الاضلاع با محیط 1 برابر است با یک سوم. با استفاده از قضیه ی فیثاغورس به  راحتی می تونین محاسبه کنید که ارتفاع این مثلث برابر است با یک روی 3√2 ، پس  مساحت این مثلث برابر است با یک روی  3√12 که تقریبا برابر است با 0.048 یک مربع با محیط 1 دارای اضلاعی به طول یک چهارمه و بوضوح مساحت این مربع یک شانزدهم خواهد شد که تقریبا 0.062 اما شش ضلعی منتظم، طول هر ضلع یک 6 ضلعی منتظم با محیط یک برابر یک ششم است.در واقع 6 ضلعی منتظم از 6 مثلث متساوی الاضلاع به طول یک ششم تشکیل شده است پس مساحت یک مثلث متساوی الاضلاع به  طول یک ششم رو محاسبه کرده آن را در 6 ضرب می کنیم تا مساحت 6 ضلعی منتظم به دست بیاید. مشابها،  ارتفاع این مثلث برابر با 3√ روی 12 پس مساحت این مثلث  برابر است با 3√ روی 144 لذا مساحت شش ضلعی منتظم شش برابر این مساحت است  یعنی 3√ روی 24 که تقریبا برابر است با 0.072 لذا ثابت کردیم که اگر مثلث  متساوی الاضلاع، مربع و 6 ضلعی منتظم دارای محیط یکسان باشند 6 ضلعی منتظم  مساحت بیشتری ایجاد خواهد کرد!!!

 ۶-  زنبورها ریاضیدانان قابلی هستند.البته اون کسی که این قابلیت رو در وجود  اونها نهاده ریاضیدان بسیار قابل تریه یعنی خداوندی که دنیا رو بر اساس  اصول ریاضی آفرید...